Uji Kompetensi Eksponen SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.1)
Soal dan pembahasan uji kompetensi ini sebagian sudah pernah dibahas pada postingan sebelumnya yaitu PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih? dan Kurikulum 2013: Uji Kompetensi Matematika SMP Kelas 7 sama dengan di SMA Kelas 10. Kedua postingan itu diambil dari buku kurikulum 2013 sebelum di revisi, sekarang setelah buku di revisi coba kembali kita kumpulkan soalnya dan kita diskusikan.
Diskusi yang berikut ini saya ambil dari Buku Siswa Matematika Kelas X Semester 1, pada uji kompetensi 1.1. Di buku itu sebenarnya ada 12 soal, tetapi disini yang dicoba untuk didiskusikan adalah mulai soal no.4 sampai no.12. Mari kita mulai:
4. Tentukan nilai dari: $ \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}\ =...$
Coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
deret $ 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$ dan
deret $ 1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$
Sehingga bisa kita tuliskan
$\begin{align}
A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\
A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\
A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\
A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\
\frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\
\frac{A}{B} & = \frac{16}{15}
\end{align}$
5. Sederhanakanlah: $ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ \frac{\left (a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}\right )}{\left (a^{\frac{7}{6}}b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{2}{3}}b\right )}\ =...$
$ = \frac{ a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\ \left (a \cdot 1 - 1\cdot b\right )}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\left (a^{\frac{1}{2}}\cdot 1 - 1\cdot b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\left (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right )}$
$ = \frac{ \left (a - b\right )}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$ = \sqrt{a}+\sqrt{b}$
6. Tentukan nilai $ x $ yang memenuhi persamaan berikut:
$ a.\ 2^{x}=8$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ a.\ 2^{x}=8$
$ 2^{x}=2^{3}$
$ x=3$
$ b.\ 4^{x}=0,125$
$ 2^{2x}=\frac{1}{8}$
$ 2^{2x}=2^{-3}$
$ 2x=-3$
$ x=\frac{-3}{2}$
$ c.\ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=1$
$ \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}=\left ( \frac{2}{5} \right )^{0}$
$ x\ =\ 0$
7.Tentukan hasil dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, dapat kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$
8. Misalkan Anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang Anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?
Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?
$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}=\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}=\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}=\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$
Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan prosedur ini dapat dipergunakan untuk pangkat positif.
9. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya adalah 7
$ 7^{2}=49$___satuannya adalah 9
$ 7^{3}=343$___satuannya adalah 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya adalah 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya adalah 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya adalah 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya adalah 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari pola bilangan diatas satuan akan kembali berulang setelah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya adalah 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya adalah 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya adalah 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya adalah 1
Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya adalah 9, karena 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya adalah 7, karena 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya adalah 1, karena 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya adalah 3, karena 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya adalah 0 (nol)
10. Tentukan angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Angka satuan dari $ \left ( 6^{26} \right )^{62}$ adalah 6.
Selanjutnya kita pilih soal yang tidak diminta yaitu untuk bilangan 7, soalnya menjadi angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7.
$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$
Pangkat bilangan 7 adalah $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan jika $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya adalah 0 maka satuannya 1 (Seperti penjelasan soal no.9)
Untuk 2, 3, 4, 5, 8, dan 9 diserahkan kepada pembaca.
11. Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
$ a^{3}+b^{3}= \left (a+b \right) \left (a^{2} -ab+b^{2} \right)$
$ a^{5}+b^{5}= \left (a+b \right) \left (a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.
Kita misalkan soal menjadi $ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$
$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left (1+2001 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left(1+2001 \right) \cdot \left(P_{1} \right)$
$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left (2+2000 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left(2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$
$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left (3+1999 \right)$
dapat kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
dapat kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$
$ 1001^{2001}$ dapat kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+\cdots+2000^{2001}+2001^{2001}$
maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+\cdots+1002^{2001}+1001^{2001}$
$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$
$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) +\cdots+\left (1001^{2000} \right ) \right ]$
Karena $ P $ adalah bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.
12. Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
pertanyaan seperti ini akan memberikan banyak proses karena mudah itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2010}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2010}\times 2^{2010}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2010}\times 2^{2}+ 3^{2009}\right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{1}\times 2^{2}+ 1\right )}$
$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 3\times 4+ 1\right )}=\frac{168}{3\left ( 12+ 1\right )}=\frac{168}{ 3\left ( 13\right )}=\frac{56}{13}$
Saran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊😊.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀
Artikel ini sebelumnya di Posting oleh http://www.defantri.com