Kurikulum 2013: Uji Kompetensi Matematika SMP Kelas VII sama dengan di SMA Kelas X
Tingginya semangat pemerintah untuk tetap menjalankan kurikulum 2013 tidak sejalan dengan faktor lain yang mendukung pelaksanaan kurikulum 2013 itu dapat berjalan dengan sesuai dengan yang diharapkan. Salah satunya adalah penyediaan buku paket kurikulum 2013 terkhusus untuk pelajaran matematika. Pada tulisan sebelumnya yaitu "PR Matematika Anakku yang Duduk di Kelas 1 SMP, Kurikulum 2013... Gak salah niih?" juga tentang buku matematika kurikulum 2013 yang mendapat sambutan positif dari pembaca dengan page view yang sangat tinggi untuk artikel diatas.
Tingginya animasi masyarakat terhadap perubahan kurikulum ini membuat saya menjajaki lebih jauh tentang buku matematika kurikulum 2013. Ternyata didalam buku matematika kurikulum 2013 bahwa ada kesamaan Uji kompetensi untuk kelas 7 SMP dan Uji Kompetensi kelas 10 SMA.
Pendekatan pembelajaran dengan pendekatan scientifik seperti yang direncanakan pemerintah untuk kurikulum 2013 tidak akan berjalan dengan baik jika masalah yang diselesaikan di SMA sudah pernah di selesaikan di SMP. Atau untuk apa di tanyakan lagi di SMA jika di SMP sudah jelas-jelas dibahas dengan soal yang sama dan bahasa yang sama.
Saya rasa sebagai seorang guru matematika jika materi yang diajarkan di SMP pada materi "Bilangan" dan di SMA pada materi "Eksponen dan Logaritma" tentu dengan tujuan pembelajaran yang berbeda sehingga tidak mungkin uji kompetensinya sama.
5. Tentukan nilai dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
Tentukan nilai dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, dapat kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{4+2n}}{2^{2n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2n+4}}{2^{2n+2}} = \frac{0}{2^{2n+2}}=0$
Soal ini disajikan di buku SMA dengan bentuk yang sedikit berbeda, tetapi dari perbedaan ini kelihatan bahwa pengetikan di buku SMA adalah soal yang diharapkan. berikut soalnya:
Tentukan nilai dari $ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, dapat kita peroleh:
$ \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{n}\cdot 2^{n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n+4}-2^{2+2n}}{2^{2n+2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}\cdot 2^{4}-2^{2}\cdot 2^{2n}}{2^{2n}\cdot 2^{2}}$
$ = \frac{ 2^{2n}( 2^{4}-2^{2})}{2^{2n}(2^{2})}=\frac{ 2^{4}-2^{2}}{2^{2}}=\frac{ 16-4}{4}=3$
6. Misalkan anda diminta menghitung $7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?
Misalkan anda diminta menghitung $ 7^{64}$. Berapa banyak perkalian yang anda lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenangnya di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit banyak perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}$. Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun juga?
$ 7^{64}=\left ( 7^{2} \right )^{32}$
$ =\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{16}$
$ =\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{8}$
$ =\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{4}$
$ =\left (\left (\left (\left (\left ( 7^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2} \right )^{2}\right )^{2}$
Ada sebanyak enam kali proses perkalian dan prosedur ini dapat dipergunakan untuk pangkat positif.
7. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Berdasarkan sifat angka 7, tentukan angka terakhir (satuan) dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$ tanpa menghitung tuntas.
Untuk menjawab soal diatas coba kita analisa satuan perpangkatan bilangan 7.
$ 7^{1}=7$___satuannya adalah 7
$ 7^{2}=49$___satuannya adalah 9
$ 7^{3}=343$___satuannya adalah 3
$ 7^{4}=2401$___satuannya adalah 1
$ 7^{5}=716807$___satuannya adalah 7
$ 7^{6}=*****9$___satuannya adalah 9
$ 7^{7}=*****3$___satuannya adalah 3
Karena yang dibutuhkan hanya satuan, maka dari pola bilangan diatas satuan akan kembali berulang setelah periode keempat. Artinya;
Bilangan satuan $ 7^{1}=7^{5}=7^{9}=...$
Bilangan satuan $ 7^{2}=7^{6}=7^{10}=...$
Bilangan satuan $ 7^{3}=7^{7}=7^{11}=...$
Bilangan satuan $ 7^{4}=7^{8}=7^{12}=...$
Kesimpulan yang dapat kita ambil adalah:
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 1 satuannya adalah 7
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 2 satuannya adalah 9
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 3 satuannya adalah 3
Jika pangkat bilangan 7 dibagi 4 sisa 0 satuannya adalah 1
Kita kembali ke soal:
$ 7^{1234}$ satuannya adalah 9, karena 1234 dibagi 4 sisa 2.
$ 7^{2341}$ satuannya adalah 7, karena 2341 dibagi 4 sisa 1.
$ 7^{3412}$ satuannya adalah 1, karena 3412 dibagi 4 sisa 0.
$ 7^{4123}$ satuannya adalah 3, karena 4123 dibagi 4 sisa 3.
Sehingga:
$ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123}$
$ =9+7+1+3=20$
Satuannya adalah 0 (nol)
8. Tentukan angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya berdasarkan sifat angka $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$.
Angka satuan dari $ \left ( 7^{26} \right )^{62}$ berdasarkan sifat angka 7, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya berdasarkan sifat angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.
$ \left ( 7^{26} \right )^{62}=7^{26\cdot 62}$
$=7^{2\cdot 13\cdot 2\cdot31}=7^{4\cdot 13\cdot 31}$
Pangkat bilangan 7 adalah $ 4\cdot 13\cdot 31$ dan jika $ 4\cdot 13\cdot 31$ dibagi 4 sisanya adalah 0 maka satuannya 1 (Seperti penjelasan soal no.7)
9. Tunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
Akan ditunjukkan bahwa: $ 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$ kelipatan 13.
$ a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2} -ab+b^{2} \right )$
$ a^{5}+b^{5}=\left ( a+b \right )\left ( a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4} \right)$
Untuk n bilangan ganjil, kita peroleh persamaan:
$ a^{n}+b^{n}=\left ( a+b \right )\left ( a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-ab^{n-2}+b^{n-1} \right)$
sehingga $ a^{n}+b^{n}$ akan selalu habis dibagi $ \left ( a+b \right )$ untuk n bilangan ganjil.
Kita misalkan soal menjadi
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$
$ 1^{2001}+2001^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1+2001 \right )$
Sehingga dapat kita tuliskan
$ 1^{2001}+2001^{2001}= \left ( 1+2001 \right )\cdot \left (P_{1} \right)$
$ 2^{2001}+2000^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 2+2000 \right )$
Sehingga dapat kita tuliskan
$ 2^{2001}+2000^{2001}= \left ( 2+2002 \right )\cdot \left (P_{2} \right)$
$ 3^{2001}+1999^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 3+1999 \right )$
Sehingga dapat kita tuliskan
$ 3^{2001}+1999^{2001}= \left ( 3+1999 \right )\cdot \left (P_{3} \right)$
$ . . .$
$ 1000^{2001}+1002^{2001}$ habis dibagi $ \left ( 1000+1002 \right )$
Sehingga dapat kita tuliskan
$ 1000^{2001}+1002^{2001}= \left ( 1000+1002 \right ) \cdot \left (P_{1000} \right)$
$ 1001^{2001}$ dapat kita tuliskan $ 1001^{2001}= \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
Jika
$ P = 1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2000^{2001}+2001^{2001}$
maka
$ P = 1^{2001}+2001^{2001}+2^{2001}+2000^{2001}+...+1000^{2001}+1002^{2001}+1001^{2001}$
$ P = \left ( 1+2001 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2+2000 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots + \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2002 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots + \left ( 1001 \right ) \cdot \left (1001^{2000} \right )$
$ P = 1001\cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots + \left (1001^{2000} \right ) \right ]$
$ P = 13 \cdot 77 \cdot \left [ \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1}) + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{2}) + \cdots + \left ( 2 \right ) \cdot (P_{1000})+ \left (1001^{2000} \right ) \right ]$
Karena $ P $ adalah bilangan kelipatan 13 maka $ P $ habis dibagi 13.
10. Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2012}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2012}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
pertanyaan seperti ini akan memberikan banyak proses karena mudah itu sifatnya relatif, kita coba apakah cara berikut Anda anggap mudah.
$ \frac{3^{2008}\left ( 10^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 6^{2012}+3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\left ( 2^{2013}\times 5^{2013}+5^{2012}\times 2^{2011} \right )}{5^{2012}\left ( 3^{2012}\times 2^{2012}+ 3^{2009}\times 2^{2008} \right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\left ( 2^{2}\times 5^{2013}+5^{2012} \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\left ( 3^{2012}\times 2^{4}+ 3^{2009}\right )}$
$ = \frac{3^{2008}\times 2^{2011}\times 5^{2012}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{5^{2012}\times 2^{2008}\times 3^{2009}\left ( 3^{3}\times 2^{4}+ 1\right )}$
$ = \frac{2^{3}\left ( 2^{2}\times 5^{1}+1 \right )}{ 3\left ( 3^{3}\times 2^{4}+ 1\right )}$
$ = \frac{8\left ( 21 \right )}{ 3\left ( 27\times 16+ 1\right )}$
$ =\frac{168}{3\left ( 432+ 1\right )}$
$=\frac{168}{ 3\left ( 433\right )}=\frac{56}{433}$
Mohon perbaikan jika ada yang salah, dan dengan melihat salah satu model uji kompetensi diatas, sebagai seorang guru matematika untuk SMA saya masih kesulitan untuk menyampaikan penyelesaian diatas kepada anak SMP. Bagaimana dengan Anda?
Ini adalah pandangan dan pendapat dengan harapan agar buku ini nantinya dapat diperbaiki karena buku kurikulum 2013 ada "Disklaimer" artinya Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013.
Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup†yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Agar hasil disklaimer baik dan sesuai dengan yang kita inginkan, sangat diharapkan juga pembaca memberikan masukan terhadap buku kurikulum 2013 dari berbagai pandangan.
Contoh Proses Belajar Mengajar yang dianjurkan pada Kurikulum 2013, semoga penjelasan diatas dapat membantu kita dalam penerapan kurikulum 2013;
Artikel ini sebelumnya di Posting oleh http://www.defantri.com