Matematika Dasar Barisan dan Deret Aritmatika (: Soal Dari Berbagai Sumber :)
Barisan dan deret salah satu materi matematika yang dipelajari pada SMA dan SMP, bahkan dalam bentuk soal cerita atau matematika realistik, soal tentang barisan dan deret sudah disisipkan pada materi matematika untuk tingkat SD.Barisan dan Deret Bilangan
Barisan Bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu.Secara simbol sederhana barisan dapat kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$
$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.
Secara simbol sederhana deret bilangan dapat kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$
$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$
Barisan dan Deret Aritmatika
Setelah dapat memahami tentang barisan dan deret bilangan, sekarang coba kita diskusikan tentang Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika yang sering disebut hanya Barisan Aritmatika. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Aritmatika (BA) jika selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.Selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $beda$ ($b$).
Contoh,
$2, 5, 8, 11, 14,...$ (BA dengan $b=3$)
$10, 6, 2, -2, -6,...$ (BA dengan $b=-4$)
Pada Barisan Aritmatika (BA) jika suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan beda dengan $b$ maka suku-suku BA secara umum dapat kita tuliskan menjadi;
$a,\ (a+b),\ (a+2b),\ (a+3b),\cdots, a+(n-1)b$
Sedangkan jika BA kita tuliskan menjadi Deret Aritmatika (DA), penulisan menjadi;
$a+\ (a+b)+\ (a+2b)+\ (a+3b)+\cdots+ \left(a+(n-1)b\right)$
Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
- beda=$b$
$b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{7}-U_{6}$
$b=U_{n}-U_{n-1}$ - Suku ke-n
$U_{n}=a+(n-1)b$ - Jumlah n suku pertama
$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
$S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$ - Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
$U_{t}=\frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
$S_{n}=n \cdot U_{t}$
Barisan dan Deret Aritmatika untuk beberapa buku memakai istilah dengan sebutan Deret Hitung. untuk memahami BA dan DA ini coba kita diskusikan beberapa contoh soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.
1. Soal Ujian Nasional 2005 (: Soal Lengkap :)
Dari suatu deret aritmatika diketahui $U_{3}=13$ dan $U_{7}=29$. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 3.250 \\
(B).\ & 2.650 \\
(C).\ & 1.325 \\
(D).\ & 1.225
\end{align}$
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{3}=13$ ⇒ $a+2b=13$...pers(1)
$U_{7}=29$ ⇒ $a+6b=29$...pers(2)
pers(1)-pers(2) ⇒ $-4b=-16$ ⇒ $b=4$
lalu substitusikan nilai $b=4$ ke pers(1) atau pers(2)
$a+2b=13$
$a+2(4)=13$
$a=13-8$
$a=5$
Jumlah 25 suku pertama adalah,
$S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [2(5)+\left ( 25-1 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [10+\left ( 24 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (10+96 \right )$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (106 \right )$
$S_{25}=1.325$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 1.325$
2. Soal SPMB 2007 (: Soal Lengkap :)
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut adalah $72$, luasnya adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 216 \\
(B).\ & 363 \\
(C).\ & 364 \\
(D).\ & 383 \\
(E).\ & 432 \\
\end{align}$
$K_\Delta=a+(a+b)+(a+2b)$
$72=3a+3b$
$24=a+b$... pers(1)
Karena segitiga adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras (kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya).
$(a+2b)^{2}=a^{2}+(a+b)^2$
$a^{2}+4ab+4b^{2}=a^2+a^2+2ab+b^2$
$0=a^2-2ab-3b^2$
$0=(a-b)^2-4b^2$
$(a-b)^2=4b^2$
$(a-b)^2=(2b)^2$
$a-b=2b$
$a=3b$ *substitusi ke pers(1)
$24=3b+b$
$4b=24$
$b=6$ maka $a=18$
Luas Segitiga
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)$
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot (24)$
$L_\Delta=216$
Sebagai alternatif penyelesaian, soal ini bisa dikerjakan dengan cara memakai perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku karena membentuk Barisan Aritmatika sehingga berlaku $a:b:c=3x:4x:5x$.
$K_\Delta=3x+4x+5x$
$72=12x$
$6=x$
$L_\Delta=\frac{1}{2}(4x)(3x)$
$L_\Delta=6x^2$
$L_\Delta=6(36)=216$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 216$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (: Soal Lengkap :)
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 8 \\
(B).\ & 20 \\
(C).\ & 24 \\
(D).\ & 30 \\
(E).\ & 36 \\
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;
Misalkan $BA$ dengan $b=2$ adalah $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.
Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari $BG$, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan $BG$.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan $BG$ sehingga jumlahnya adalah $30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 30$
4. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (: Soal Lengkap :)
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmatika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{15} \\
(B).\ & \dfrac{2}{15} \\
(C).\ & \dfrac{1}{5} \\
(D).\ & \dfrac{1}{3} \\
(E).\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan materi antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit materi dari barisan geometri harus kita ketahui;
Misalkan:$BG$ dengan $r=\dfrac{1}{2}$ adalah $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Misalkan $BA$ dengan $b=b$ adalah $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Karena $u_{1}$ $BG$ sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15}
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{1}{5}$
5. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (: Soal Lengkap :)
Sebelas buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah $187$. Jika pada setiap $2$ suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rat-rata dari $2$ suku yang berurutan tersebut, jumlah deret yang baru adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 289 \\
(B).\ & 323 \\
(C).\ & 357 \\
(D).\ & 399 \\
(E).\ & 418
\end{align}$
Misalkan Deret Aritmatika $(a)+(a+b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+(a+10b)$ dengan $S_{11}=187$
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{11} & = \dfrac{11}{2} \left(2a+(11-1)b \right) \\
187 & = \dfrac{11}{2} \left(2a+10b \right) \\
187 & = 11a+55b \\
17 & = a+5b
\end{align}$
Diantara dua suku disisipkan rata-rata kedua suku, sehingga deret yang baru adalah:
$(a)+\dfrac{1}{2}(2a+b)+(a+b)+\dfrac{1}{2}(2a+3b)+(a+2b)+\cdots+(a+9b)+\dfrac{1}{2}(2a+19b)+(a+10b)$
Banyak suku yang dapat disisipkan adalah $10$ suku baru, deret yang disisipkan adalah:
$ \dfrac{1}{2}(2a+b) +\dfrac{1}{2}(2a+3b)+\dfrac{1}{2}(2a+5b)+\cdots$$+\dfrac{1}{2}(2a+19b)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( (2a+b) + (2a+3b)+ (2a+5b)+\cdots$$+ (2a+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 2a \times 10 +(b+3b+5b+\cdots+19b) \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \left( 20a +100b \right)$
$ =\dfrac{1}{2} \cdot 20 \left( a +5b \right)$
$ =10 \left( 17 \right)$
$ =170$
Jumlah deret yang baru adalah $170+187=357$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 357$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi ðŸ™Share is Caring👀
Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;
Artikel ini sebelumnya di Posting oleh http://www.defantri.com