Matematika Dasar Sistem Persamaan (: Soal Dari Berbagai Sumber :)
Jika selisih uang adik dan kakak $Rp10.000,00$ sedangkan dua kali uang kakak ditambah uang adik berjumlah $Rp40.000,00$ maka jumlah uang mereka adalah...Soal ditas kita pilih dari soal UNBK matematika SMP tahun 2018 dan bentuk soal ini adalah salah satu contoh soal yang bisa kita selesaikan dengan menggunakan konsep dari sistem persamaan, baik itu dengan menggunakan eliminasi, substitusi atau dengan menggunakan matriks.
Sistem persamaan yang sudah di diskusiksn sampai tingak SMA kelas XII (dua belas) ada sampai empat sistem persamaan, yaitu:
- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
- Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
- Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)
- Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK)
Cara paling efektif untuk menyelesaikan masalah terkait sistem persamaan dikembalikan kepada kita, karena untuk menentukan sebuah cara yang paling efektif adalah tergantung dari tingkat kenyamanan kita dalam menyelesaikan soal. Baik akan menggunakan grafik, eliminasi, substitusi, gabungan eliminasi dan sustitusi, invers matriks, determinan matriks atau punya metode lain, silahkan digunakan yang kita anggap baik.
Beberapa sampel soal untuk kita diskusikan yaitu dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), UN (Ujian Nasional) atau dari soal ujian-ujian lain yang masih sesuai dengan bahan diskusi kita. Mari kita coba diskusikan;
1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (: Soal Lengkap :)
Tujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\
A-7 & = 6B-42 \\
A-6B & =-42+7 \\
A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\
2A+8 & = 5B+20+9 \\
2A+8 & = 5B+29 \\
2A-5B & =29-8 \\
2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\
2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\
\hline
& & -7B = -91 & \\
& & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$
2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (: Soal Lengkap :)
Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Pada soal disampaikan bahwa harga 2 buku tulis dan 8 buku gambar adalah $48.000$ dan 3 buku tulis dan 5 buku gambar adalah $37.000$.
Dengan memisalkan $\text{buku tulis}=m$ dan $\text{buku gambar}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2m+8n=48.000$ atau $6m+24n=144.000$
$3m+5n=37.000$ atau $6m+10n=74.000$
Dari kedua persamaan diatas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh:
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2m+8n = 48.000 & \times 3 & 6m+ 24n = 144.000 & \\
3m+5n = 37.000 & \times 2 & 6m+10n=74.000 & - \\
\hline
& & 14n = 70.000 & \\
& & n = 5.000 & \\
n = 5.000 & 3m+5(5.000) & m=4.000 &
\end{array} $
Harga yang harus dibayar untuk 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu adalah $1(5.000)+(2)4.000=13.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp13.000,00$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (: Soal Lengkap :)
Kakak membeli $2\ kg$ duku dan $1\ kg$ manggis dengan harga $Rp12.000,00$. Adik membeli $3\ kg$ duku dan $2\ kg$ manggis dengan harga $Rp19.000,00$. Jika ibu membeli $4\ kg$ duku dan $5\ kg$ manggis, maka ibu harus membayar ... rupiah
Jika kita misalkan $\text{duku}=d$ dan $\text{manggis}=m$, maka persamaan yang dibelanjakan kakak dan adik dapt kita tuliskan sebagai berikut;
kakak: $2d\ + 1m\ = 12.000$
adik: $3d\ + 2m\ = 19.000$
ibu: $4d\ + 5m\ = \cdots $
Dari belanja kakak dan adik kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2d + 1m = 12.000 & \times 2 \\
3d + 2m = 19.000 & \times 1 \\
\hline
4d + 2m = 24.000 & \\
3d + 2m = 19.000 & (-) \\
\hline
d = 5.000 & \\
2d+m=12.000 & m=2.000 \\
2(5.000)+m=12.000 & m=2.000
\end{array} $
Belanja ibu:
$ \begin{align}
4d\ + 5m\ & = 4(5.000) + 5(2.000) \\
& = 20.000+10.000 \\
& = 30.000 \end{align} $
4. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (: Soal Lengkap :)
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $y=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal dapat ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
$\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split}$
Sama seperti sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Jadi $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1$
5. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (: Soal Lengkap :)
Diketahui sistem persamaan:
$\begin{align}
3a+7b+c & = 315 \\
4a+10b+c & = 420
\end{align}$
Maka nilai $a+b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 100 \\
(B).\ & 105 \\
(C).\ & 110 \\
(D).\ & 150
\end{align}$
Jika kedua persamaan diatas kita kurangkan maka akan kita peroleh
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+7b+c = 315 & \\
4a+10b+c = 420 & (-)\\
\hline
a + 3b = 105 &
\end{array} $
Dari persamaan $3a+7b+c = 315$ kita lakukan manipulasi aljabar sebagai berikut;
$\begin{align}
3a+7b+c & =315 \\
2a+a+6b+b+c & =315 \\
2a+6b+a+b+c & =315 \\
2(a+3b)+a+b+c & =315 \\
2(105)+a+b+c & =315 \\
a+b+c & =315-210 \\
a+b+c & =105
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 105$
6. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (: Soal Lengkap :)
Jika $a$ dan $b$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix}
2016a+2017b=6050\\
2017a+2016b=6049
\end{matrix}\right.$ maka nilai $b^{2}-a^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & 3 \\
(C).\ & 4 \\
(D).\ & 5
\end{align}$
Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (-)\\
\hline
-a+b=1 & \\
b-a=1 &
\end{array} $
Jika kedua persamaan kita tambahkan, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
2016a+2017b=6050 & \\
2017a+2016b=6049 & (+)\\
\hline
4033a+4033b=12099 & \\
a+b=3 & \\
b+a=3 &
\end{array} $
Nilai $b^{2}-a^{2}=(b+a)(b-a)=3 \cdot 1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 3$
7. Soal UM SMA Unggul DEL 2018 (: Soal Lengkap :)
Diberikan $a,\ b,\ c$ adalah anggota bilangan ril (nyata).
$\left.\begin{matrix}
a+b+c=7\\
\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}
\end{matrix}\right\}$ maka nilai $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{19}{10} \\
(B).\ & \dfrac{21}{10} \\
(C).\ & \dfrac{23}{10} \\
(D).\ & \dfrac{25}{10}
\end{align}$
Dari kedua persamaan $a+b+c=7$ dan $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{7}{10}$ jika kita kalikan maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut:
$\begin{align}
\left ( 7 \right )\left (\dfrac{7}{10} \right ) & =\left ( a+b+c \right )\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \right ) \\
\dfrac{49}{10} & = \dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a} \\
\dfrac{49}{10} & =\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{a+c}{c+a} \\ \\
\dfrac{49}{10} & = 1+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1 \\
\dfrac{49}{10} & = 3+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{49}{10}-3 & = \dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a} \\
\dfrac{19}{10} & = \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \dfrac{19}{10}$
8. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (: Soal Lengkap :)
Diketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_{0}$ dan $y=y_{0}$, maka nilai $x_{0}+y_{0}$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1 \\
(B).\ & 2 \\
(C).\ & 3 \\
(D).\ & 4 \\
(E).\ & 5
\end{align}$
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=a & \times 2 \\
2x-y=3 & \times 1 \\
\hline
2x+4y = 2a & \\
2x-y = 3 & - \\
\hline
5y = 2a-3 & \\
y = \frac{2a-3}{5}
\end{array} $
Agar $y$ bilangan bulat dan $a$ bilangan bulat positif maka $2a-3$ harus kelipatan $5$
$\begin{align}
2a-3 & \equiv 5k \\
2a & \equiv 5k+3 \\
a & \equiv \dfrac{5k+3}{2} \\
\text{Untuk}\ k=1\ \text{maka}\ a & \equiv 4 \\
y & = \frac{2a-3}{5} \\
y & = \frac{2(4)-3}{5}=1 \\
x+2y & = a \\
x+2(1) & = 4 \\
x & = 4-2=2
\end{align}$
$x_{0}+y_{0}=2+1=3$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 3$
9. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (: Soal Lengkap :)
Jika $A$ merupakan himpunan semua nilai $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ memiliki penyelesaian di kuadran $I$, maka $A=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ c | c=-1 \right \} \\
(B).\ & \left \{ c | c \lt -1 \right \} \\
(C).\ & \left \{ c | 1 \lt c \lt 1 \right \} \\
(D).\ & \left \{ c | c= 1 \right \} \\
(E).\ & \left \{ c | c \gt 1 \right \}
\end{align}$
Jika kedua persamaan coba kita selesaikan:
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \\
cx+y=1 & + \\
\hline
x+cx = 2 & \\
x(c+1) = 2 & \\
x = \dfrac{2}{c+1}
\end{array} $
$\begin{array}{c|c|cc}
x-y=1 & \times\ c\\
cx+y=1 & \times\ 1 \\
\hline
cx-cy=c & \\
cx+y=1 & - \\
\hline
-cy-y = c-1 & \\
y(c+1) = -c+1 & \\
y = \dfrac{-c+1}{c+1}
\end{array} $
Karena penyelesaian di kuadran $I$ maka nilai $x \gt 0$ dan $y \gt 0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
\frac{2}{c+1} & \gt 0 \\
(2)(c+1) & \gt 0 \\
c+1 & \gt 0 \\
c & \gt -1
\end{align}$
$\begin{align}
\dfrac{-c+1}{c+1} & \gt 0 \\
(-c+1)(c+1) & \gt 0 \\
c \lt -1\ &\text{atau}\ c \gt 1
\end{align}$
Irisan $c \gt -1$ dan $c \lt -1\ \text{atau}\ c \gt 1$ adalah $c \gt 1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ c | c \gt 1 \right \}$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (: Soal Lengkap :)
Diberikan sistem $a^{2}x-3y=1$, $\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$. Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=12\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(B).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=6\ \text{dan}\ a=4 \right \} \\
(C).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=3\ \text{dan}\ a=-2 \right \} \\
(D).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-5\ \text{dan}\ a=2 \right \} \\
(E).\ & \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}
\end{align}$
Agar sistem tersebut tidak memiliki tepat satu solusi, maka ada dua kemungkinan yaitu berimpit (banyak solusi) atau sejajar (tidak punya solusi). Dua keadaan ini terjadi saat $m_{1}=m_{2}$
$a^{2}x-3y=1$
$m_{1}=\dfrac{a^{2}}{3}$
$\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)x+\left( \dfrac{1}{a}+1 \right)y=6$
$m_{2}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1}$
Karena $m_{1}=m_{2}$, maka:
$\begin{align}
\dfrac{-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right)}{\dfrac{1}{a}+1} & = \dfrac{a^{2}}{3} \\
-\dfrac{4}{3}\left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = \dfrac{a^{2}}{3} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4 \left( a+\dfrac{3}{2} \right) & = a^{2} \times \left( \dfrac{1}{a}+1 \right)\\
-4a-6 & = a+a^{2}\\
a^{2}+5a+6 & = 0 \\
(a+3)(a+2) & = 0 \\
a=-3\ &\ a=-2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \left \{ a \in \mathbb{R}: a=-2\ \text{dan}\ a=-3 \right \}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan" ___pythagoras- lembar jawaban penilaian harian matematika,
- lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀
Artikel ini sebelumnya di Posting oleh http://www.defantri.com