Sebelum kita hitung nilai $\underset{y \to 2}{lim}\ \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.
Jarak dua titik dapat kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ adalah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ adalah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
- Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
- Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ adalah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
- Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ adalah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\
& = BC+CD+DB \\
& = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\
& = OA+AB+BD+DO \\
& = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\
& = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $
$ \begin{align}
& \underset{y \to 2}{lim}\ \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\
& = \underset{y \to 2}{lim}\ \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\
& = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\
& = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\
& = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$
