Gemoteri: Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang

Apa yang paling diharapkan oleh seorang guru ketika melaksanakan proses belajar mengajar di dalam kelas, salah satunya adalah siswa ada yang bertanya. Perasaan senang dari seorang guru jika ada siswanya yang bertanya didalam kelas tidak bisa dipungkiri oleh seorang guru.

Sekedar mengingatkan kepada rekan guru, jangan takut kalau ada siswa yang bertanya dan Anda tidak bisa menjawabnya. Berjiwa besarlah untuk mengatakan "...hari ini sepertinya saya tidak dapat menjawab pertanyaan Si Poltak [misalkan nama murid anda yang bertanya si Poltak], saya akan coba menjawab pertanyaannya pada pertemuan berikutnya...".

Jika Anda sudah berusaha dan tidak juga menemukan jawaban dari pertanyaan si Poltak tersebut, pada pertemuan berikutnya katakan dengan bijaksana bahwa Anda tidak dapat menemukan jawabannya.

Dan Alice Wellington Rollins [1910-1997] mengatakan

"The test of a good teacher is not how many questions he can ask his pupils that they will answer readily, but how many questions he inspires them to ask him which he finds it hard to answer."

Jika dalam Bahasa Indonesia kurang lebih isinya seperti ini:

Indikasi bahwa seseorang bisa disebut guru [pendidik] yang hebat bukanlah pada kemampuannya mengajarkan murid untuk pintar menjawab semua jenis pertanyaan, tetapi pada kemampuannya menginspirasi murid agar mengajukan pertanyaan yang dia sendirinya kesulitan untuk menjawabnya.

Dengan kata lain, bila guru mengajar agar murid bisa sama pintarnya dengan dia, itu biasa saja. Guru yang bagus adalah yang bisa mendidik muridnya agar jauh lebih pintar dan lebih kritis daripada dirinya sendiri.

Pertanyaan berikut diberikan siswa namanya Poltak Juliatma Silaban bukan lagi nama samaran, dia merupakan siswa SMA Negeri 2 Lintongnihuta angkatan I, dan orangnya ganteng yang pasti orang batak kan kelihatan dari namanya. Kenapa Pertanyaan ini dibagikan kepada Anda karena pertanyaan ini kejadiannya seperti yang diceritakan pada paragraf pertama. Mari kita lihat pertanyaannya yang diambil dari buku Matematika Bilingual KTSP Kelas X penerbit Yrama Widya.

Diketahui bidang empat $P.ABC$ dengan $PA$, $PB$, dan $PC$ saling tegak lurus. Jika $PA=a$, $PB=b$, $PC=c$, dan jarak titik $P$ ke bidang $ABC$ sama dengan $d$, tunjukkan bahwa $ \frac{1}{d^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

Mari kita mulai, pertama kita menggambarkan bidang empat $P.ABC$

Dari soal kita peroleh beberapa keterangan yaitu [lihat gambar untuk membantu]
$\angle BPC=\angle APC=\angle APB=90^{\circ}$
sehingga garis $AP$ tegak lurus bidang $BPC$.

Buatlah garis bantu yaitu garis tinggi dari $P$ ke $BC$, misalkan garisnya adalah $PD$ sehingga $PD \perp BC$.

Lalu perhatikan $\triangle BPD$ sebangun $\triangle BPC$ sehingga kita peroleh:
$ \frac{DP}{BP}=\frac{CP}{BC} $

$ DP =\frac{CP\cdot BP}{BC} $

$ DP =\frac{c\cdot b}{\sqrt{c^2+b^2}}$

Lalu gambarkan kembali garis bantu dari titik $A$ ke titik $D$ sehingga diperoleh garis $AD$. Sekarang kita peroleh segitiga baru yaitu $\triangle ADP$, dimana $\triangle ADP$ adalah segitiga siku-siku di $P$.

Gambar kembali garis bantu yaitu garis tinggi dari titik $P$ ke $AD$, misalkan garisnya adalah garis $PE$ sehingga $PE \perp AD$. Karena $PE \perp AD$ dan $AD$ terletak pada bidang $ABC$ sehingga jarak titik $P$ kebidang $ABC$ adalah panjang ruas garis $PE$ atau $PE=d$.

Perhatikan $\triangle ADP$ dan $\triangle APE$ adalah segitiga yang sebangun sehingga diperoleh:
$ \frac{PE}{PA}=\frac{DP}{AD} $

$ PE =\frac{DP\cdot AP}{AD} $

$ d=\frac{\frac{c\cdot b}{\sqrt{c^2+b^2}}\cdot a}{\sqrt{\frac{c^2\cdot b^2}{c^2+b^2}+a^2}}$

$ d=\frac{\frac{a\cdot b\cdot c}{\sqrt{c^2+b^2}}}{\sqrt{\frac{c^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+a^2\cdot b^2}{c^2+b^2}}} $

$ d^2=\frac{\frac{a^2\cdot b^2\cdot c^2}{{c^2+b^2}}}{{\frac{c^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+a^2\cdot b^2}{c^2+b^2}}}$

$ d^2=\frac{{a^2\cdot b^2\cdot c^2}}{{c^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+a^2\cdot b^2}}$

$ \frac{1}{d^2}=\frac{{c^2\cdot b^2+a^2\cdot c^2+a^2\cdot b^2}}{{a^2\cdot b^2\cdot c^2}}$

$ \frac{1}{d^2}=\frac{{c^2\cdot b^2}}{{a^2\cdot b^2\cdot c^2}}+\frac{{a^2\cdot c^2}}{{a^2\cdot b^2\cdot c^2}}+\frac{a^2\cdot b^2}{{a^2\cdot b^2\cdot c^2}}$
Sampai disini kita sudah sampai kepada bentuk yang diinginkan, dan soal sudah terbukti;
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

Semoga membantu si Poltak dan dia dapat mencapai apa yang dicita-citakannya.

Artikel ini sebelumnya di Posting oleh http://www.defantri.com